Kaosteori: Hva er forskjellen mellom kaotisk atferd og tilfeldig atferd?


Svar 1:

Novellen er følgende. Tilfeldig oppførsel er ikke-deterministisk: selv om du visste alt som kan være kjent om et system på et gitt tidspunkt i perfekt detalj, ville du fremdeles ikke kunne forutsi staten på et fremtidig tidspunkt. Kaotisk oppførsel er derimot fullt deterministisk hvis du kjenner den opprinnelige tilstanden i perfekt detalj, men enhver upresisjon i den opprinnelige tilstanden, uansett hvor liten, vokser raskt (eksponentielt) med tiden.

Tilfeldige systemer

Et myntkast eller et lotteri er eksempler på tilfeldige systemer [*]. Du kan kaste en mynt en million ganger, kjenne til utfallet hver eneste gang, men det hjelper ikke deg i det hele tatt å forutsi utfallet av neste kast. På samme måte kan du kjenne til hele historien til tallene som vant lotteriet, men det vil ikke hjelpe deg å vinne i lotto. (Hvis dette høres overraskende ut, se Gambler's fallacy.)

[*] Jeg viser her til idealiserte systemer der tilfeldighet er manifest.

Itsimportanttopointout,however,thatrandomsystemsarenotnecessarilycompletelyunpredictable.Take,forexample,aGaussianrandomwalk,inwhichaparticlespositionisupdatedateverytimestepbyasmalldisplacementinarandomdirection,withmagnitudedrawnfromaGaussiandistributionwithstandarddeviationσ.Whileitsimpossibletoexactlypredictwheretheparticlewillbeafter[math]n[/math]steps,itispossibletoshowthat,withhighprobability,itwontbemuchfartherthan[math]σn[/math].If[math]σ[/math]issmall,thismightmeanthatyouactuallycanpredictwheretheparticlewillbewithhighaccuracy,despitetherandomnessofthesystem.It's important to point out, however, that random systems are not necessarily completely unpredictable. Take, for example, a Gaussian random walk, in which a particle's position is updated at every time step by a small displacement in a random direction, with magnitude drawn from a Gaussian distribution with standard deviation \sigma. While it's impossible to exactly predict where the particle will be after [math]n[/math] steps, it is possible to show that, with high probability, it won't be much farther than [math]\sigma \sqrt n[/math]. If [math]\sigma[/math] is small, this might mean that you actually can predict where the particle will be with high accuracy, despite the randomness of the system.

For å gjøre dette mer intuitivt, kan du tenke deg å prøve å finne en full. Han forlot baren ved midnatt, og du leter etter ham en time senere. Siden han er full, går han målløst, og du vil ikke kunne vite nøyaktig hvor han er. Når du vet at han går i et tempo på ett trinn i sekundet, og antar at hvert trinn blir tatt i en ny, helt tilfeldig retning, vet du imidlertid at han etter en time ikke kan være mye lenger enn 60 trinn (kanskje hundre trinn meter) borte fra der han dro.

Kaotiske systemer

Oneoftheusualexamplesofchaoticbehavioristhelogisticmap.Thestateofasystemisrepresentedbyanumberxwhichevolvesindiscretetimesteps.Ateachstep,thestateischangedaccordingto[math]xn+1=rxn(1xn).[/math]Forsomevaluesof[math]r[/math],thebehaviorof[math]xn[/math]isrelativelysimple:forlarge[math]n[/math],[math]xn[/math]willoscillatebetweenafinitesetofvalues.However,formostvaluesof[math]r[/math]beyondabout3.57,thefinalbehaviorofthesystemisextremelydependentoninitialconditions.Thisbehaviorissummarizedinabifurcationdiagram,whichlookslikethisforthelogisticmap:One of the usual examples of chaotic behavior is the logistic map. The state of a system is represented by a number x which evolves in discrete time steps. At each step, the state is changed according to[math]x_{n+1} = r x_n (1-x_n)\,.[/math]For some values of [math]r[/math], the behavior of [math]x_n[/math] is relatively simple: for large [math]n[/math], [math]x_n[/math] will oscillate between a finite set of values. However, for most values of [math]r[/math] beyond about 3.57, the final behavior of the system is extremely dependent on initial conditions. This behavior is summarized in a bifurcation diagram, which looks like this for the logistic map:

(fra Wikipedia)

Thisshowswherexmightendupafteralargenumberofstepsasafunctionof[math]r[/math].Asyoucansee,whileforsmall[math]r[/math],thereareonlyacoupleofasymptoticvaluesfor[math]x[/math],for[math]r[/math]around3.6andlarger,[math]x[/math]canbeallovertheplace.This shows where x might end up after a large number of steps as a function of [math]r[/math]. As you can see, while for small [math]r[/math], there are only a couple of asymptotic values for [math]x[/math], for [math]r[/math] around 3.6 and larger, [math]x[/math] can be all over the place.

Adifferentwaytolookatthisisthefollowing.Belowisaplotshowingthevaluesofxnfortwostartingvalues,[math]x0(1)=0.40[/math]and[math]x0(2)=0.41[/math],for[math]r=3.5[/math].Thevaluesforthefirstsequence(startingwith0.40)areplacedonthe[math]x[/math]axis,whilethevaluesforthesecondsequence(startingwith0.41)areplacedonthe[math]y[/math]axis.Theresapointforevery[math]n[/math].A different way to look at this is the following. Below is a plot showing the values of x_n for two starting values, [math]x_0^{(1)} = 0.40[/math] and [math]x_0^{(2)} = 0.41[/math], for [math]r = 3.5[/math]. The values for the first sequence (starting with 0.40) are placed on the [math]x[/math]-axis, while the values for the second sequence (starting with 0.41) are placed on the [math]y[/math]-axis. There's a point for every [math]n[/math].

Thewaytoreadthisplotisthefollowing.Ifforagivenn,thevaluesofthetwosequencesareequal,thenyouwillgetapointonthediagonal(representedwithadashedlineintheplot)the[math]x[/math]andthe[math]y[/math]coordinatesforthispointareequal.Ifthetwovaluesaresimilarbutnotequal,youllgetapointclosetothediagonalbutnotonit.Iftheyarecompletelydifferent,thepointwillbefarfromthediagonal.Asyoucansee,althoughthetwosequencesstartedfromdifferentinitialconditions,theybehavemoreandmorealikeasthenumberofstepsincreases:mostofthepointsontheplotareonorclosetothediagonal.(Note:Icoloredthepointswithalightershadeofredforsmall[math]n[/math]sothatthereddestpointsareforlatertimes)The way to read this plot is the following. If for a given n, the values of the two sequences are equal, then you will get a point on the diagonal (represented with a dashed line in the plot) -- the [math]x[/math] and the [math]y[/math] coordinates for this point are equal. If the two values are similar but not equal, you'll get a point close to the diagonal but not on it. If they are completely different, the point will be far from the diagonal. As you can see, although the two sequences started from different initial conditions, they behave more and more alike as the number of steps increases: most of the points on the plot are on or close to the diagonal. (Note: I colored the points with a lighter shade of red for small [math]n[/math] so that the reddest points are for later times)

Nowtakealookatwhathappenswhenr=3.7.Now take a look at what happens when r=3.7.

Hellig moly! Poengene er over alt! Hva dette betyr er at selv om vi startet med to veldig like startbetingelser, ser de to sekvensene ingenting likt. Det er kaos.

Å skille kaos fra tilfeldighetene

Det er faktisk ikke -rivialt å skille tilfeldig fra ikke-tilfeldige tall. Anta at jeg for eksempel sier at følgende er resultatet av en myntkast (1 er hoder, 0 er haler): [1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1] (det er fjorten). Ser dette tilfeldig ut for deg? Jeg er sikker på at det ikke gjør det. Likevel fant jeg nøyaktig at sekvensen vises to ganger i ti tusen myntkast generert ved hjelp av en ekte tilfeldig tallgenerator (random.org). De samme ti tusen myntkastene inneholder også sekvensen [1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0] to ganger, og [0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0] ( atten nuller) en gang. Selvfølgelig er disse forekomstene sjeldne (gitt en hvilken som helst sekvens med lengde 14, kan du forvente at den skulle vises i en av cirka 16000 trekkplaster), men samtidig er det ikke overraskende at vi ser dem her, siden vi brukte 10000 prøver til Finn dem. Poenget er imidlertid at hvis noen gir deg prøver fra en tilfeldig sekvens, er det ingenting med selve prøven som kan fortelle deg om opprinnelsen til prøven var en tilfeldig prosess eller ikke.

Sammenlign nå sekvensene jeg viste ovenfor med dette: [1 1 0 1 1 0 0 1 1 1 0 1 1 0] Denne ser mer tilfeldig ut, ikke sant? Vel, den ble generert med en pseudorandom-generator på datamaskinen min, noe som betyr at den faktisk beregnes deterministisk ut fra dynamikken i et kaotisk system! Dette viser vanskeligheten med å skille "ekte" tilfeldighet fra det du får når du ganske enkelt ikke vet den eksakte tilstanden til et system.

uforutsigbarhet

Det er viktig å ikke forveksle tilfeldighet med uforutsigbarhet. Tilfeldig oppførsel er ikke forutsigbar i streng forstand (man kan ikke komme med perfekte spådommer), men den kan være forutsigbar i høy grad av nøyaktighet (som i tilfelle av tilfeldig vandring jeg skrev om tidligere). Motsatt kan uforutsigbarhet skyldes tilfeldighet (som manglende evne til å forutsi nøyaktig når et radioaktivt forfall vil finne sted), men i de fleste tilfeller skyldes det ganske enkelt vår manglende evne til å måle den opprinnelige tilstanden til et system nøyaktig og følge det nøyaktig nok (som i tilfelle værvarsling eller prøve å forutsi hvor en dråpe vann vil falle fra en bølge som spruter mot kysten [dette er et eksempel på grunn av Feynman som jeg ikke finner noen referanse til akkurat nå]).


Svar 2:

Det er noen utmerkede beskrivelser av kaosteori og tilfeldighet som svar på dette spørsmålet, men kanskje det kan være verdt å merke seg at den konseptuelle rammen for kaosteori er ekstremt verdifull på mange forskjellige felt; spesielt innen økonomi og næringsliv. Dette er felt der strateger trenger å ha litt kontroll over en kompleks situasjon der det er for mange samhandlende faktorer til å kunne forutsi utfall.

Nature, er et godt eksempel på at en strateg bruker det konseptuelle rammeverket for kaosteori for å lage optimale effektive biologiske systemer. Nøkkelen til nyttig bruk av kaosteori er å forstå at den er opptatt av dynamiske systemer, som består av et mangfold av samhandlende elementer. Slike systemer er underlagt grunnleggende fysiske lover som gjør at de alltid prøver å slå seg til ro med minst mulig energi. Selv om denne stabile tilstanden ikke er forutsigbar, kan den opprettholdes over et bredt antall variasjoner i komponentinteraksjonene.

Kaosteori forteller oss at hvis komponentinteraksjonene når en kritisk terskel, vil systemet bli kaotisk og deretter slå seg ned i en ny og annen stabil tilstand. Naturen bruker dette fenomenet for å fremkalle evolusjonær fremgang. Genetiske variasjoner kan for det meste tolereres i et biologisk system, men av og til kan en genetisk endring være tilstrekkelig til å få det biologiske systemet til å fungere markant annerledes. Dette kan være til bedre eller verre. Konkurranse mellom biologiske systemer sikrer at systemene som endres til det bedre blir bevart og de underordnede endringene går tapt.

Selv om de kanskje ikke vet noe om kaosteori, er smarte økonomer og forretningsfolk klar over dette fenomenet, og når et system ikke oppfører seg hvordan de vil at det skal oppføre seg, gjør de endringer for å gjøre det om til en ny stat. De må være modige nok til å håndtere det påfølgende kortsiktige kaoset dette innebærer og være klar til å avslutte endringene hvis situasjonen legger seg i en dårligere tilstand, men dette er den eneste måten du kan takle og kontrollere komplekse systemer. Det er synd at politikerne våre ikke blir skolert i kaosteori.


Svar 3:

Kanskje det i en viss grunnleggende forstand ikke er noen forskjell,

noe som betyr at det ikke er noe som heter ekte tilfeldighet i naturen.

Kanskje er det bare grader av tilfeldighet, bestemt av

grad av entropi i fenomenet. Et problem er det perfekte

randomness har ikke noe informasjonsinnhold overhodet, og det,

i seg selv er informasjon. Et slags paradoks.


Svar 4:

Kanskje det i en viss grunnleggende forstand ikke er noen forskjell,

noe som betyr at det ikke er noe som heter ekte tilfeldighet i naturen.

Kanskje er det bare grader av tilfeldighet, bestemt av

grad av entropi i fenomenet. Et problem er det perfekte

randomness har ikke noe informasjonsinnhold overhodet, og det,

i seg selv er informasjon. Et slags paradoks.


Svar 5:

Kanskje det i en viss grunnleggende forstand ikke er noen forskjell,

noe som betyr at det ikke er noe som heter ekte tilfeldighet i naturen.

Kanskje er det bare grader av tilfeldighet, bestemt av

grad av entropi i fenomenet. Et problem er det perfekte

randomness har ikke noe informasjonsinnhold overhodet, og det,

i seg selv er informasjon. Et slags paradoks.


Svar 6:

Kanskje det i en viss grunnleggende forstand ikke er noen forskjell,

noe som betyr at det ikke er noe som heter ekte tilfeldighet i naturen.

Kanskje er det bare grader av tilfeldighet, bestemt av

grad av entropi i fenomenet. Et problem er det perfekte

randomness har ikke noe informasjonsinnhold overhodet, og det,

i seg selv er informasjon. Et slags paradoks.


Svar 7:

Kanskje det i en viss grunnleggende forstand ikke er noen forskjell,

noe som betyr at det ikke er noe som heter ekte tilfeldighet i naturen.

Kanskje er det bare grader av tilfeldighet, bestemt av

grad av entropi i fenomenet. Et problem er det perfekte

randomness har ikke noe informasjonsinnhold overhodet, og det,

i seg selv er informasjon. Et slags paradoks.


Svar 8:

Kanskje det i en viss grunnleggende forstand ikke er noen forskjell,

noe som betyr at det ikke er noe som heter ekte tilfeldighet i naturen.

Kanskje er det bare grader av tilfeldighet, bestemt av

grad av entropi i fenomenet. Et problem er det perfekte

randomness har ikke noe informasjonsinnhold overhodet, og det,

i seg selv er informasjon. Et slags paradoks.


Svar 9:

Kanskje det i en viss grunnleggende forstand ikke er noen forskjell,

noe som betyr at det ikke er noe som heter ekte tilfeldighet i naturen.

Kanskje er det bare grader av tilfeldighet, bestemt av

grad av entropi i fenomenet. Et problem er det perfekte

randomness har ikke noe informasjonsinnhold overhodet, og det,

i seg selv er informasjon. Et slags paradoks.


Svar 10:

Kanskje det i en viss grunnleggende forstand ikke er noen forskjell,

noe som betyr at det ikke er noe som heter ekte tilfeldighet i naturen.

Kanskje er det bare grader av tilfeldighet, bestemt av

grad av entropi i fenomenet. Et problem er det perfekte

randomness har ikke noe informasjonsinnhold overhodet, og det,

i seg selv er informasjon. Et slags paradoks.


Svar 11:

Kanskje det i en viss grunnleggende forstand ikke er noen forskjell,

noe som betyr at det ikke er noe som heter ekte tilfeldighet i naturen.

Kanskje er det bare grader av tilfeldighet, bestemt av

grad av entropi i fenomenet. Et problem er det perfekte

randomness har ikke noe informasjonsinnhold overhodet, og det,

i seg selv er informasjon. Et slags paradoks.


Svar 12:

Kanskje det i en viss grunnleggende forstand ikke er noen forskjell,

noe som betyr at det ikke er noe som heter ekte tilfeldighet i naturen.

Kanskje er det bare grader av tilfeldighet, bestemt av

grad av entropi i fenomenet. Et problem er det perfekte

randomness har ikke noe informasjonsinnhold overhodet, og det,

i seg selv er informasjon. Et slags paradoks.


Svar 13:

Kanskje det i en viss grunnleggende forstand ikke er noen forskjell,

noe som betyr at det ikke er noe som heter ekte tilfeldighet i naturen.

Kanskje er det bare grader av tilfeldighet, bestemt av

grad av entropi i fenomenet. Et problem er det perfekte

randomness har ikke noe informasjonsinnhold overhodet, og det,

i seg selv er informasjon. Et slags paradoks.